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Simulationsmodell

  Die Simulation des Pendels beruht auf einem Modell, in dem verschiedene Energieformen einfließen, wobei jedoch die Reibung vernachlässigt wird. Die Energiegleichungen werden mit der modifizierten Lagrangeschen Gleichung zweiter Art gelöst und zu einem gekoppelten Differentialsystem zweiter Ordnung geführt. Hierbei wird das bewegte Koordinatensystem des Pendels in das stationäre Koordinatensystem des Antriebsarms transformiert. Grundlage der folgenden Berechnung ist das in Abbildung gif gezeigte System, wobei die in der Abbildung angegebenen Parameter tex2html_wrap_inline3374 , tex2html_wrap_inline3376 und tex2html_wrap_inline3378 bekannte Konstanten sind.

   figure136
Abbildung: Aufbau und Beschreibung des Pendelsystems

   figure160
Abbildung: Hardware des Pendelsystems

Physikalisch gesehen handelt es sich um ein gekoppeltes Doppelpendelsystem, welches nach den Gesetzen der Massenträgheit unter Einfluß der Erdanziehung schwingt. Noch zu berücksichtigen ist dabei die Kraftwirkung durch den steuernden Motor. Im Pendelsystem werden zunächst der Pendel- und der Antriebsarm getrennt betrachtet. Die gesamte Masse eines Armes wird hierbei punktförmig konzentriert im Schwerpunkt des Armes angenommen. Daraus ergibt sich ein bestimmtes Massenträgheitsmoment, welches zusammen mit dem Schwerpunkt zur Beschreibung eines einzeln schwingenden Armes ausreicht. Um das komplette System zu modellieren, muß der Einfluß der beiden schwingenden Arme aufeinander, und zusätzlich die Kraftwirkung durch den Motor berücksichtigt werden. Dieses komplexe System kann nicht mehr durch eine Schwingungsgleichung beschrieben werden. Es ergibt sich vielmehr ein gekoppeltes Differentialgleichungssystem, welches nur numerisch lösbar ist.

Für das beschriebene Pendelsystem wird zunächst die in ihm enthaltene potentielle Energie berechnet. Sie ergibt sich zu:

eqnarray166

Analog ergibt sich der Ansatz für die kinetische Energie. Hierbei bezeichnet die Summe ( tex2html_wrap_inline3384 ) das Gesamtträgheitsmoment von Arm und Motor.

eqnarray168

Aus den so bestimmten Energieinhalten kann die modifizierte innere Energie L des Systems berechnet werden:

eqnarray177

Zur Vereinfachung werden die folgenden Abkürzungen eingeführt: tex2html_wrap3392 tex2html_wrap3394

Die Bewegungsgleichungen ergeben sich aus den Lagrange-Gleichungen:

eqnarray189

zu

   eqnarray203

Szab64 behandelt ein gekoppeltes Pendelsystem, welches dem hier vorliegenden Doppelpendel entspricht. Durch Substitution der Ansatzgrößengif können die Differentialgleichungen ineinander übergeführt werden. Eine Literaturrecherche ergab obendrein, daß das Problem des invertierten Doppelpendels auch der Problemstellung Glocke, Klöppel entspricht, welche in Muell87 der Literaturliste behandelt wird und zu einem identischen Ergebnis führt. Die Gleichungen können auch hier durch Substitution der Winkel ineinander übergeführt werden.

Durch Umformen und Ineinandereinsetzen der beiden Gleichungen (gif) und (gif) können sie in die für Bewegungsgleichungen übliche Form gebracht werden. Es gilt dann für die beiden Winkelbeschleunigungen:

eqnarray215

Um die Gleichungen übersichtlicher darzustellen, werden die konstanten Terme herausgezogen. Dies führt zu folgender Form, wobei neue Abkürzungen eingeführt werden. Die unten beschriebenen Abkürzungen bestehen nur aus Konstanten, die sich vor der Simulation aus den technischen Daten des Systems berechnen lassen.

   eqnarray242


mit den neu eingeführten Abkürzungen:

figure256

Zum Vergleich sind hier die äquivalenten Formeln angegeben, wie sie von Mathematica errechnet werden. Hierbei kann man leicht erkennen, daß sich die beiden Gleichungen hauptsächlich um einen Term unterscheiden, der den Einfluß der Motorwirkung beschreibt.

  eqnarray292

  eqnarray304


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Marius Heuler
Tue Jan 7 12:11:50 MET 1997