Die Simulation des Pendels beruht auf einem Modell, in dem verschiedene
Energieformen einfließen, wobei jedoch die Reibung vernachlässigt wird.
Die Energiegleichungen werden mit der modifizierten Lagrangeschen
Gleichung zweiter Art gelöst und zu einem gekoppelten Differentialsystem
zweiter Ordnung geführt. Hierbei wird das bewegte Koordinatensystem des
Pendels in das stationäre Koordinatensystem des Antriebsarms
transformiert. Grundlage der folgenden Berechnung ist das in
Abbildung gezeigte System, wobei die in der Abbildung
angegebenen Parameter , und bekannte Konstanten sind.
Abbildung: Aufbau und Beschreibung des Pendelsystems
Abbildung: Hardware des Pendelsystems
Physikalisch gesehen handelt es sich um ein gekoppeltes
Doppelpendelsystem, welches nach den Gesetzen der Massenträgheit
unter Einfluß der Erdanziehung schwingt. Noch zu berücksichtigen ist
dabei die Kraftwirkung durch den steuernden Motor. Im Pendelsystem
werden zunächst der Pendel- und der Antriebsarm getrennt betrachtet. Die
gesamte Masse eines Armes wird hierbei punktförmig konzentriert im
Schwerpunkt des Armes angenommen. Daraus ergibt sich ein bestimmtes
Massenträgheitsmoment, welches zusammen mit dem Schwerpunkt zur
Beschreibung eines einzeln schwingenden Armes ausreicht. Um das
komplette System zu modellieren, muß der Einfluß der beiden
schwingenden Arme aufeinander, und zusätzlich die Kraftwirkung durch
den Motor berücksichtigt werden. Dieses komplexe System kann nicht
mehr durch eine Schwingungsgleichung beschrieben werden. Es ergibt
sich vielmehr ein gekoppeltes
Differentialgleichungssystem, welches nur numerisch lösbar ist.
Für das beschriebene Pendelsystem wird zunächst die in ihm enthaltene potentielle Energie berechnet. Sie ergibt sich zu:
Analog ergibt sich der Ansatz für die kinetische Energie. Hierbei bezeichnet die Summe ( ) das Gesamtträgheitsmoment von Arm und Motor.
Aus den so bestimmten Energieinhalten kann die modifizierte innere Energie L des Systems berechnet werden:
Zur Vereinfachung werden die folgenden Abkürzungen eingeführt:
Die Bewegungsgleichungen ergeben sich aus den Lagrange-Gleichungen:
zu
Szab64 behandelt ein gekoppeltes Pendelsystem, welches dem hier vorliegenden Doppelpendel entspricht. Durch Substitution der Ansatzgrößen können die Differentialgleichungen ineinander übergeführt werden. Eine Literaturrecherche ergab obendrein, daß das Problem des invertierten Doppelpendels auch der Problemstellung Glocke, Klöppel entspricht, welche in Muell87 der Literaturliste behandelt wird und zu einem identischen Ergebnis führt. Die Gleichungen können auch hier durch Substitution der Winkel ineinander übergeführt werden.
Durch Umformen und Ineinandereinsetzen der beiden Gleichungen () und () können sie in die für Bewegungsgleichungen übliche Form gebracht werden. Es gilt dann für die beiden Winkelbeschleunigungen:
Um die Gleichungen übersichtlicher darzustellen, werden die konstanten Terme herausgezogen. Dies führt zu folgender Form, wobei neue Abkürzungen eingeführt werden. Die unten beschriebenen Abkürzungen bestehen nur aus Konstanten, die sich vor der Simulation aus den technischen Daten des Systems berechnen lassen.
mit den neu eingeführten Abkürzungen:
Zum Vergleich sind hier die äquivalenten Formeln angegeben, wie sie von Mathematica errechnet werden. Hierbei kann man leicht erkennen, daß sich die beiden Gleichungen hauptsächlich um einen Term unterscheiden, der den Einfluß der Motorwirkung beschreibt.